Cara Menghitung Persamaan Garis Singgung Kurva Dengan Konsep Turunan

Materi ini sudah Anda pelajari semenjak duduk di dingklik SMP. Kalau anda lupa silahkan anda buka-buka kembali gudang kawasan penyimpanan buku-buku Anda waktu duduk di dingklik SMP. Waktu Sekolah Menengah Pertama anda belum mengenal bahan turunan. Sekarang bahan konsep persamaan garis singgung kembali anda pelajari. Bedanya pada bahan ini untuk mencari garis singgung suatu kurva dengan menggunkan konsep turunan yang sudah anda pelajari sebelumnya. Oke pribadi saja ke permasalahan. Perhatikan gambar berikut.

Titik P(x, y) yaitu sembarang titik pada kurva y = f(x), sehingga koordinat titik P sanggup dituliskan sebagai (x, f(x)). Absis titik Q yaitu (x + h) sehingga koordinat titik Q yaitu {(x + h), (f(x + h)}. Jika h → 0, maka S akan menjadi garis singgung pada kurva di titik P yaitu PS. Dengan demikian gradien garis singgung pada kurva di titik P yaitu sebagai berikut.

Untuk lebih jelasnya, coba kini perhatikan pola soal berikut ini.

Contoh soal 1

Tentukan gradien garis singgung dari fungsi f(x) = 2x³ – 5x² di titik (–1, –3).

Penyelesaian

f(x) = 2x³ – 5x²

f ′(x) = 6x² – 10x

f ′(–1) = 6 + 10

f ′(–1) = 16

Jadi, gradien garis singgung f(x) = 2x³ – 5x² di titik (–1, –3) yaitu m = 16.

Contoh soal 2

Jika diketahui f(x) = 5 – √x , tentukan gradien garis singgung kurva tersebut di titik yang ordinatnya 3.

Penyelesaian

f(x) = 5 – √x

3 = 5 – √x

x = 2 ⇒ x = 4

f(x) = 5 – √x = 5 – x ^-1/2

f ′(x) = –½ x ^-1/2 = – 1/(2√x)

m = f ′(4) = – 1/(2√4)

m = – ¼

Jadi, gradien garis singgung kurva tersebut di titik yang ordinatnya 3 yaitu – ¼

Persamaan garis singgung pada kurva di titik (x1, y1) dengan gradien m di mana m = f ′(x) adalah:

Untuk lebih jelasnya, coba kini perhatikan lagi pola soal berikut ini.

Contoh soal 3

Diketahui kurva f(x) = x³ –6x². Tentukan persamaan garis singgung dari kurva tersebut yang memiliki gradien –12.

Penyelesaian

f(x) = x³ – 6x²

f ′(x) = 3x² – 6⋅2x = 3x² – 12x

m = f ′(x)

–12 = 3x² – 12x

3x² – 12x + 12 = 0

x² – 4x + 4 = 0

(x – 2)² = 0

x = 2

y = f(2)

y = x³ –6x²

y = 2³ –6. 2²

y = 8 – 24

y = –16

Jadi, koordinat titik singgung (2, –16).

Maka persamaan garis singgungnya adalah:

y – y1 = m(x – x1)

y + 16 = –12(x – 2)

y + 16 = –12x + 24

y = –12x + 8

y = –4(3x – 2)

Contoh soal 4

Tentukanlah koordinat titik dan persamaan garis singgung pada kurva y = 2x² – 5, sehingga garis singgung kurva di titik itu memiliki gradien 4.

Penyelesaian

f(x) = 2x² – 5

f ′(x) = 4x

m = f ′(x)

4 = 4x

x = 1

y = f(1)

y = x² –5

y = 1² –5

y = 1 – 5

y = –4

Jadi, koordinat titik singgung (1, –4).

Maka persamaan garis singgungnya adalah:

y – y1 = m(x – x1)

y + 4 = 4(x – 1)

y + 4 = 4x -4

y = 4x -8

Demikianlah sedikit pembahasan mengenai persamaan garis singgung suatu kurva dengan menggunkan konsep turunan. Untuk memantapkan pemahaman anda, silahkan anda jawab soal tantangan berikut.

Soal Tantangan 1

Carilah persamaan garis singgung pada kurva y = x² – 3x + 3, yang tegak lurus dengan garis y = x + 6,

Soal Tantangan 2

Carilah persamaan garis singgung pada kurva y = x² – 2x + 2, yang sejajar dengan garis 5x + y = 1.