Cara Menghitung Turunan Fungsi Yang Sederhana

Pada postingan sebelumnya sudah membahas mengenai “Menghitung Limit Fungsi yang Mengarah ke Konsep Turunan”, pada postingan tersebut sudah dibahas keterkaitan antara konsep fungsi limit dengan fungsi turunan. Nah pada psotingan ini akan membahas cara Menghitung Turunan Fungsi yang Sederhana dengan Menggunakan Definisi Turunan. Oke, eksklusif saja ke pokok bahasan.

Turunan fungsi yang berbentuk y = u ± v

Misalnya anda menemukan rujukan soal menyerupai berikut ini. Carilah f ′(x) kalau f(x) = 3x³ + 7x². Contoh soal tersebut merupakan salah satu rujukan turunan fungsi yang berbentuk y = u + v. Bagaimana cara mencari turunan pertama dari soal tersebut tanpa menggunkan konsep fungsi limit?

Bila y = f(x) = u(x) + v(x) di mana turunan dari u(x) ialah u'(x) dan turunan dari v(x) ialah v'(x), maka turunan dari f(x) ialah f ′(x) = u'(x) + v'(x). Begitu juga bila f(x) = u(x) – v(x), maka f ′(x) = u'(x) + v'(x). Jadi, kalau y = u ±v, maka y' = u' ± v'. Oleh alasannya itu, dengan memakai konsep turunan, maka

f(x) = 3x³ + 7x²

f′(x) = 9x² + 14x

Nah itu teorinya, biar lebih jelasnya, coba anda pelajarilah beberapa rujukan soal berikut ini

Contoh Soal 1

Carilah f ′(x) kalau f(x) = 3x² + 7x

Penyelesaian:

f(x) = 3x² + 7x

Misal:

u = 3x² → u' = 3⋅2⋅x² ^{– 1} = 6x¹ = 6x

v = 7x → v' = 7⋅1⋅x^{1 – 1} = 7x⁰ = 7⋅1 = 7

Jadi kalau f(x) = u + v, maka f ′(x) = u' + v' = 6x + 7

Contoh Soal 2

Carilah f ′(x) kalau f(x) = –x³ – 8x²

Penyelesaian:

f(x) = –x³ – 8x²

Misal:

u = –x³ → u' = –3x³ ^{– 1} = –3x²

v = 8x² → v' = 8 ⋅ 2⋅ x^{2 – 1} = 16 x¹ = 16x

Jadi kalau f(x) = u – v, maka f ′(x) = u' – v' = –3x² – 16x

Turunan fungsi yang berbentuk y = u⋅ v

Pembahasan di atas sudah dijelaskan penjumlahan atau pengurangan dari turunan fungsi, maka kini kita lanjut dengan turunan fungsi dalam bentuk perkalian atau perkalian turunan fungsi. Misalnya: Carilah y ′ kalau y = (x²+3x)(5x + 3). Apakah caranya sama menyerupai penjumlahan atau pengurangan turunan fungsi?

Jika y = f(x) = u(x) ⋅ v(x), di mana turunan dari u(x) ialah u'(x) dan turunan dari v(x) ialah v'(x), maka turunan dari f(x) ialah f ′(x) = u'(x)⋅ v(x) + u(x) ⋅ v'(x). Jadi kalau y = u⋅ v, maka y' = u' v + u v'.

Agar lebih terang silahkan anda pelajarilah beberapa rujukan soal berikut ini.

Contoh soal 1

Carilah y′ kalau y = x(5x + 3)

Penyelesaian:

Cara 1:

y = x (5x + 3)

y = 5x² + 3x

y' = 5 ⋅ 2x^{2 – 1} + 3 ⋅1 x^{1 – 1}

y' = 10x¹ + 3 ⋅ x⁰

y' = 10x + 3 ⋅ 1

y' = 10x + 3

Cara 2:

y = x(5x + 3)

misal:

u = x → u' = 1

v = 5x + 3 → v' = 5 + 0 = 5

Jadi kalau y = u⋅ v, maka

y' = u' v + u v'

y' = 1 (5x + 3) + x (5)

y' = 5x + 3 + 5x

y' = 10x + 3

Contoh soal 2

Carilah y ′ kalau y = 3(2x + 1) x²

Penyelesaian:

Cara 1:

y = 3(2x + 1) x²

y = 6x³ + 3x²

y' = 6 ⋅ 3x^{3 – 1} + 3 ⋅2 x^{2 – 1}

y' = 18x² + 6x

Cara 2:

y = 3(2x + 1) x²

y = (2x + 1) 3x²

misal:

u = 2x + 1 → u' = 2

v = 3x² → v' = 6x

Jadi kalau y = u⋅ v, maka

y' = u' v + u v'

y' = 2 ⋅ 3x² + (2x + 1) 6x

y' = 6x² + 12x² + 6x

y' = 18x² + 6x

Turunan fungsi yang berbentuk y = u/v

Misalnya: Carilah y ′ kalau y = (x²+3x)/(5x + 3). Apakah caranya sama menyerupai perkalian turunan fungsi? Jika y = f(x) = u(x)/v(x), di mana turunan dari u(x) ialah u'(x) dan turunan dari v(x) ialah v'(x), maka turunan dari f(x) ialah f ′(x) = (u'(x)⋅ v(x) - u(x) ⋅ v'(x))/ v(x)². Jadi kalau y = u/v, maka y' = (u'v + uv')/v².

Agar lebih terang silahkan anda pelajarilah beberapa rujukan soal berikut ini.

Contoh Soal Pembagian Turunan Fungsi

Carilah turunan pertama dari y = (3x+1)/(4x-3)

Penyelesaian:

y = (3x+1)/(4x-3)

misal:

u = 3x – 2 → u' = 3

v = 5x + 6 → v' = 5

Jika y = uv, maka

y' = (u′ v - uv′)/v²

y' = (3(5x+ 6) - (3x - 2)5)/(5x+6)²

y' = ((15x+ 18) - (15x - 10))/(5x+6)²

y' = 28/(5x+6)²

Turunan fungsi yang berbentuk y = uⁿ

Misalnya: Carilah y ′ kalau y = (x²+3x)¹². Bagaiman cara mencari turunan fungsi menyerupai soal tersebut? Jika y = f(x) = u(x)ⁿ, di mana turunan dari u(x) ialah u'(x), maka turunan pertama dari f(x) ialah f ′(x) = n.u′(x).u(x)^n-1⋅ Jadi kalau y = uⁿ, maka y' = n.u'.u^n-1

Agar lebih terang silahkan anda pelajarilah beberapa rujukan soal berikut ini.

Contoh Soal Pembagian Turunan Fungsi Pangkat

Carilah turunan pertama dari y = (2 + 5x²)⁵

Penyelesaian:

y = (2 + 5x²)⁵

misal :

u = 2 + 5x² → u' = 10x

Jika y = uⁿ, maka

y' = n. u'.u^{n – 1}

= 5. 10x (2 + 5x²)^{5 – 1} ⋅

= 50x(2 + 5x²)⁴

Jadi, Untuk u dan v masing-masing fungsi x, u' turunan dari u dan v' turunan dari v dan k bilangan konstan, menurut pembahasan tersebut sanggup disimpulkan beberapa rumus untuk turunan fungsi sebagai berikut.