Pembuktian Identitas Trigonometri

Sebelum menerangkan identitas trigonometri, terlebih dahulu harus paham dengan trigonometri dasar ialah sinus (sin), cosinus (cos), tangen (tan), cosecan (csc), secan (sec), dan cotangen (cot). Untuk itu, silahkan simak gambar di bawah ini.

Sebelum menerangkan identitas trigonometri Pembuktian Identitas Trigonometri

Segitiga siku-siku

Dari gambar segitiga siku-siku ABC di atas maka didapatkan bahwa:

Sin α = a/b

Cos α = c/b

Tan α = a/c

Csc α = b/a

Sec α = b/c

Cot α = c/a

Dari tan α, csc α, sec α, dan cot α akan didapatkan bentuk lain yakni:

Tan α = a/c

Tan α = (a/b)/(c/b)

Tan α = sin α/cos α

Csc α = b/a

Csc α = 1/(a/b)

Csc α = 1/sin α

Sec α = b/c

Sec α = 1/(c/b)

Sec α = 1/cos α

Cot α = c/a

Cot α = 1/( a/c)

Cot α = 1/tan α

Sekarang kita buktikan bahwa sin² α + cos² α = 1 dengan memakai teorema pythagoras yakni:

b² = a² + c²

(a/sin α)² = (b.sin α)² + (b.cos α)²

a²/sin² α = b².sin² α + b².cos² α

a²/sin² α = b²(sin² α + cos² α)

a²/ b²sin² α = sin² α + cos² α

a²/a² = sin² α + cos² α

1 = sin² α + cos² α (terbukti)

Dengan memakai persamaan trigonometri dasar diatas maka persamaan identitas trigonometri sin² α + cos² α = 1 sanggup dibuktikan sebagai berikut.

sin² α + cos² α = 1

(a/b)² + (c/b)² = 1

a²/b² + c²/b² = 1

(a² + c²)/b² = 1

b²/b² = 1

1 = 1 (terbukti)

Dari persamaan identitas trigonometri sin² α + cos² α = 1 akan didapatkan bentuk identitas lain ialah sebegai berikut.

Jika sama-sama dibagi dengan sin² α maka akan didapatkan:

sin² α + cos² α = 1

sin² α/sin² α + cos² α/sin² α = 1/sin² α

1 + cot² α = csc² α

csc² α – cot² α = 1

Sedangkan, bila sama-sama dibagi dengan cos² α maka akan didapatkan:

sin² α + cos² α = 1

sin² α/cos² α + cos² α/cos² α = 1/cos² α

tan² α + 1 = sec² α

sec² α – tan² α = 1

Identitas trigonometri dasar

Note: Identitas csc α, sec α dan cot α (dalam kotak warna merah) disebut sebagai identitas kebalikan. Identitas selanjutnya (dalam kotak berwarna biru) disebut sebagai identitas Pythagoras. Sedangkan identitas terakhir, tan α dan cot α (dalam kotak warna cokelat) disebut sebagai identitas rasio.